Про складність діофантових рівнянь можна судити з такої події.

1900 року на Міжнародному математичному конгресі, що відбувся в Па­рижі, німецький математик Д. Гільберт зробив доповідь, у якій, зокрема, сформулював 23 проблеми. Згодом вони   увійшли в історію науки як проблеми Гіль­берта. Під номером 10 було сформульо­вано проблему про діофантові рівняння: чи можна побудувати такий алгоритм, щоб за його допомогою про кожне діофантове рів­няння дістати відповідь — чи розв'язне во­но в цілих числах. Цю проблему 1972 року розв'язав радянський математик Ю. Матіясевич. Відповідь негативна — десята про­блема  Гільберта нерозв'язна. Це означає, що не тільки немає способів розв'язання діофантових рівнянь у загальному випад­ку, а навіть більше — немає такого алго­ритму, користуючись яким можна було б про будь-яке діофантове рівняння ска­зати: чи має воно розв'язки в цілих чис­лах.

ДІОФАНТ (ймовірно III ст.)

За допомогою рівнянь і  теорем
Він безлічі розв'язував проблем: 
Пророкував  і посухи, і зливи. 
Погодьтеся, його пізнання дивні.

Д.Чосер

Діофант — давньогрець­кий математик із Александрії. Про його життя майже нічого не відомо. Збереглася частина йо­го математичного тракта­ту «Арифметика» (шість книг із 13) та уривки з книги про так звані многокутні (фігурні) числа.

Ім'ям цього вченого на­звано два великих розділи математики — теорія діо­фантових рівнянь і теорія діофантових наближень.

 ГОТУЄМОСЯ ДО ОЛІМПІАДИ

 1. Знайдіть усі додатні трицифрові числа, які від ділення на 37 дають остачу 2, а від ді­лення на 11— остачу 5.

2.Розв'яжіть у цілих числах рівняння 3ху + 16х + 13у + 61 = 0.

3.Шифр кодового замка — двоцифрове чис­ло. Буратіно забув код, але пам'ятає, що сума цифр цього числа, додана до їх добутку, дорів­нює самому числу. Запишіть усі можливі варіанти коду, щоб Буратіно зміг відімкнути замок.