Фігурні числа - Все про числа - Математична скринька - Каталог файлів - Урок математики               
Головна » Файли » Математична скринька » Все про числа

Фігурні числа
10.01.2013, 03:10

Фігурні числа — це за­гальна назва чисел,
пов'я­заних з тією чи іншою гео­метричною
фігурою.

 

Півкола, прямокутники, квадрати; будинки із бетону, криці й
скла;
скрізь  радіомузика, автомати, і над  усім звитяжний
знак числа.            
М. Драй-Хмара


                        ТРИКУТНІ ЧИСЛА

 

Позначимо на площині три точки. Зрозуміло, що вони утворюють трикутник.   А чи утворить­ся  трикутник, якщо до цих точок додати ще одну? А дві?   Відповідь — ні. (Переконайтеся  в цьо­му самостійно.) Для того щоб точки  утворювали трикутник, до позначених  трьох точок слід дода­ти ще три. 

 

Нескладно переконатися, що наступ­ний  трикутник утвориться додаванням
чотирьох точок, потім п'яти і т. ін.

 

 
1                3=1+2                       6=1+2+3                       10=1+2+3+4

 

 

Продовжуючи додавати точки, будемо отри­мувати нові й нові трикутники.
Числа, яким до­рівнює кількість точок у таких трикутниках, на­зивають
трикутними.
Ці числа утворюють ряд: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,... 
Якщо позначити  трикутні числа  Т1 Т2, Т3, ..., Тп домовитися, що Т1 = 1, 
і помітити за­кономірність: Т2 = 3 = 1+2; 
Т 3= 6 = 1+2+3; 
Т410 =  1+ 2 + 3 + 4;
Т5= 15 = 1+2 + 3 + 4 + 5; ... 

 

 

Тп  = 1+2+3+...+ п,
то неважко одержати формулу для п-го трикутного числа:

 

Тп = n(n+1) / 2                   

 

                         КВАДРАТНІ ТА  П'ЯТИКУТНІ ЧИСЛА

Аналогічно до трикутних  можна  отримати квадратні числа: 1, 4,9,16,25…
 


 

 


 

 

   1                    4                           9                       16       

 

Очевидно, що квадратними числами є квадрати  натуральних чисел.
Якщо квадратні числа  позначити
   Kп  ,то   Kп = n2.
Розглянемо  п'ятикутні числа
 

                 

             

              
 

 

1               5                             12                       22
Формулу для обчислення  Пп  -  n го   п’ятикутного числа дістанемо 
якщо  подамо кожне  чисел у вигляді суми і знайдемо  суму n членів
натурального ряду      Пп =  n(n-3)/ 2

 

 МНОГОКУТНІ   ЧИСЛА

 

Так само як трикутні, квадратні і п'ятикутн і можна побудувати 
будь-які  т-кутні числа.
Чи існує формула для обчислення будь-якого  m-кутного числа? Так!

 

Нехай  F mп.  п-не m-кутне число. 
Розглянемо  m -кутник, пов'язаний з цим числом.
Він має (т - 3) ді­агоналі, проведені з точки А. 

 

 

Вони роз­бивають m -кутник на (m  - 2) трикут­ника, 
кожен з яких пов'язаний  з  n - м трикутним 
чис­лом Т . Отже, усього у  m -кутнику
 (т - 2)Тп точок.Оскільки точки, які лежать 
на діагоналях ми  рахували двічі (діагональ
 є спільною 
стороною двох трикутників),
а точку А, яка 
є спільною для  всіх трикутників, (m - 2) рази, то
від виразу (
m - 2)Тп слід відняти  числа  (п - 1 )( m  - 3)  і  (m  - 3).
Підставивши замість
Тп  його значення та виконавши  необхідні
перетворення, дістан
eмо шукану   формулу: 

 

                              F mп. = n/2 ((т - 2) п + 4 –m) .

 

Зокрема, підставляючи замість т числа 3, 4, 5 ми дістанемо
формули для 
Тп, Кп і Пп .

 

 

ДЕЯКІ  ВЛАСТИВОСТІ  ФІГУРНИХ ЧИСЕЛ

 

1.Сума двох  послідовних трикутних  чисел є повним   квадратом

2.Парність   елементів ряду  трикутних чисел  змінюється за законом: непарне, непарне, парне, парне…

3.Зв'язок між  трикутними  трикутними та квадратними  числами:

 

n + 1 =К2n+1 (формула Діофанта). 

 

Категорія: Все про числа | Додав: 01122011 | Теги: фігурні числа
Переглядів: 1318 | Завантажень: 0 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]