50 Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап

2009-2010 роки

8 клас

1. На гранях куба були записані деякі натуральні числа. Потім в кожну вершину куба були записані добутки чисел, написаних на 3-х гранях, які містять цю вершину. Виявилося, що сума чисел в усіх вершинах куба дорівнює 70. Знайдіть суму чисел, записаних на гранях куба.

2. На дошці написано числа 1, 2, ..., 37. Дозволяється стерти будь-які два числа і замість них написати їх різницю. Повторивши цю операцію 36 разів, ми отримаємо одне число. Доведіть, що це число не може бути нулем.

3. У старій садибі будинок обсаджений по колу деревами - соснами і березами. Всього дерев 96. Ці дерева мають дивну властивість: з двох дерев, що ростуть поруч з будь-якою сосною, одне - сосна, а інше - береза. Із двох дерев, що ростуть через одне від будь-якої сосни, одне - сосна, а інше - береза. Скільки беріз посаджено навколо будинку?

4. В 1980 році 9 кг ірисок коштували дешевше 10 руб., а 10 кг тих же ірисок - дорожче 11 рублів. Скільки коштував 1 кг цих ірисок?

5. Один математик прийшов в гості до фізика. У фізика було троє дітей. Математик запитав:

--- Скільки років твоїм дітям?

--- А ти здогадайся. Підкажу: добуток років, що їм виповнилось, дорівнює 36.

--- Але цього явно недостатньо.

--- Добре, додам: сума років, що їм виповнилось, дорівнює номеру моєї квартири.

--- Знову недостатньо!

--- І останнє: старший брат рудий.

--- А-а-а, ось тепер все ясно!

Так скільки ж дітям років?

Час на виконання роботи – 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використовувати калькулятори забороняється.