ПОСЛІДОВНІСТЬ ФІБОНАЧЧІ

Жодна інша  наука не навчає так ясно розуміти  гармонію природи, як

 Італійський математик Леонардо Пізанський,

ЗАДАЧА ПРО КРОЛИКІВ І ПОСЛІДОВНІСТЬ  ФІБОНАЧЧІ
 

  У  «Книзі про абак» Фібоначчі  пропонує таку задачу:

Дехто помістив пару кроликів у деяке місце, загороджене з усіх боків

стіною,  щоб дізнатися, скільки пар кроликів  народиться   протягом року,

якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує

другу пару, а   народжують кролики починаючи з другого місяця піс­ля

своєї появи на світ.

Якщо позначити число пар кроликів через f_k , то

 f₁ = 1, f₂=1, f₃ =2 , f₄ ⁼3, f₅=5, f₆ = 8, f₇=13, f₈=21, ...,

причому утворення цих чисел відбува­ється за законом

f_n  = f_{n -1} + f_n-2   для всіх n> 2

(тобто будь-яке число починаючи з третього дорівнює сумі двох поперед­ніх).

Отже, розв'язуючи задачу про кроликів, Леонардо Фі­боначчі описав нескінченну числову послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … будь-який член якої починаючи з третього виражається через попередні члени. Це класичний приклад рекурентної послідовності, елементи якої мають багато цікавих  властивостей.

У наш час послідовність Фіббоначі знаходить застосування в дослідженнях з

комбінаторики, розв'язуванні проблем, пов’язаних  із цілими числами, розв'язування кібернетичних задач (теорії ігор, програмування), а також у зовсім несподіваних ситуаціях. Наприклад, розв'язування задачі про  оптимальну стратегію автомобіліста, який  намагається знайти найвигіднішу для нього швидкість машини (тобто таку, під час   якої вона використовує найменшу кількість  бензину на кілометр пройденого шляху),  також приводить до послідовності Фібоначчі

1.Для будь-якого числа d чис­ла послідовності Фібоначчі, які діляться на d, зустрічаються пе­ріодично, наприклад, кожне тре­тє число — парне, кожне четвер­те — ділиться на три, кожне п'ятнадцяте — на 10 і т. ін.

2.Два сусідніх числа послідов­ності Фібоначчі є взаємно прости­ми.

3.Число f_n ділиться на число f_m  тоді й тільки тоді, якщо n ді­литься  на  m.

4.Найбільший спільний діль­ник чисел f_n і f_m дорівнює f_k де k — найбільший спільний діль­ник чисел n іm.